Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского

Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского — критерий существования решения в обобщенных квадратурах линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения произвольного порядка.

История

Частный случай критерия (для линейных однородных уравнений второго порядка) был доказан французским математиком Лиувиллем в 1839 году. Развивая метод Лиувилля, русский математик Мордухай-Болтовской в 1910 году доказал критерий для уравнений произвольного порядка:

Формулировка

Дифференциальное уравнение n-го порядка

[math]\displaystyle{ y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + \cdots + p_n y = 0 }[/math]

с коэффициентами [math]\displaystyle{ p_i }[/math] из функционального дифференциального поля [math]\displaystyle{ K }[/math], все элементы которого представимы в обобщенных квадратурах, решается в обобщенных квадратурах, тогда и только тогда, когда выполнены оба следующие условия:

• Во-первых, оно имеет решение вида

[math]\displaystyle{ y_1(x)=\exp \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt, }[/math]

где [math]\displaystyle{ f }[/math] — функция, лежащая в некотором алгебраическом расширении [math]\displaystyle{ K_1 }[/math] поля [math]\displaystyle{ K }[/math],

• Во-вторых, дифференциальное уравнение (n−1)-го порядка на функцию [math]\displaystyle{ z=y' -\frac{y_1'}{y_1}y }[/math] с коэффициентами из поля [math]\displaystyle{ K_1 }[/math], полученное из исходного уравнения процедурой понижения порядка, решается в обобщенных квадратурах над полем [math]\displaystyle{ K_1 }[/math].

Литература

• А. Г. Хованский. Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. — М.: Издательство МЦНМО, 2008. — 296 с.